分类计数原理与分步计数原理

分类计数原理与分步计数原理是排列、组合的两个基本原理。为了让教师更好的理解教材，我们在这里做一简要的介绍。

我们先来看下面的问题：

从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车。在一天中，火车有2班，汽车有3班。那么一天中，乘坐这些交流工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？

因为一天中乘火车有2种走法，乘汽车有3种走法，每一种走法都可以从甲地到乙地，所以共有：3＋2＝5种不同的走法，如下图所示：

一般的，有如下原理：

分类计数原理（也称加法原理）完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m₁种不同的方法，在第2类办法中有m₂种不同的方法……在第n类办法中有m_n种不同的方法。那么完成这件事共有

N＝m₁＋m₂＋…＋m_n

种不同的方法。

再看下面的问题：

从甲地到乙地，要先从甲地乘火车到丙地，再于次日从丙地乘汽车到乙地。一天中，火车有2班，汽车有3班。那么两天中，从甲地到乙地共有多少种不同的走法？（如下图。）

这个问题与前面的问题不同。在前一问题中，采用乘火车或乘汽车中的任何一种方式，都可以从甲地到乙地，而在这个问题中，必须经过先乘火车、后乘汽车两个步骤，才能从甲地到乙地。

这里，因为乘火车有2种走法，乘汽车有3种走法，所以乘一次火车再接着乘一次汽车从甲地到乙地，共有2×3＝6种不同的走法。

所有走法
    火车1──汽车1
    火车1──汽车2
    火车1──汽车3
    火车2──汽车1
    火车2──汽车2
    火车2──汽车3

一般的，有如下原理：

分步计数原理（也称乘法原理）完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m₁种不同的方法，做第2步有m₂种不同的方法……做第n步有m_n种不同的方法。那么完成这件事共有

N＝m₁×m₂×…×m_n

种不同的方法。

例书架的第1层放有4本不同的科技书，第2层放有3本不同的漫画书，第3层放有2本不同的文学书。

（1）从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？

（2）从书架的第1、2、3层各取1本书，有多少种不同的取法？

解：（1）从书架上任取1本书，有3类办法：第1类办法是从第1层取1本科技书，有4种方法；第2类办法是从第2层取1本漫画书，有3种方法；第3类办法是从第3层取1本文学书，有2种方法。根据分类计数原理，不同取法的种数是

N＝m₁＋m₂＋m₃＝4＋3＋2＝9

答：从书架上任取1本书，有9种不同的取法。

（2）从书架的第1、2、3层各取1本书，可以分成3个步骤完成：第1步从第1层取1本科技书，有4种方法；第2步从第2层取1本漫画书，有3种方法；第3步从第3层取1本文学书，有2种方法。根据分步计数原理，从书架的第1、2、3层各取1本书，不同取法的种数是

N＝m₁×m₂×m₃＝4×3×2＝24

答：从书架的第1、2、3层各取1本书，有24种不同的取法。

分类计数原理与分步计数原理，回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问题。区别在于：分类计数原理针对的是“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步计数原理针对的是“分步”问题，各步骤中的方法相互依存，只有各个步骤都完成才算做完这件事。

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